Diketahui fungsi g(x) = - 1/9 x³ + A²x + 1 dan A konstanta. Jika f(x) = g(x + 2) dan fungsi f(x) naik pada interval – 5 < x < 1, nilai minimum fungsi g(x) adalah

Diketahui fungsi g(x) = - 1/9 x³ + A²x + 1 dan A konstanta. Jika f(x) = g(x + 2) dan fungsi f(x) naik pada interval – 5 < x < 1, nilai minimum fungsi g(x) adalah . . . .

A. 11

B. 7

C. 5

D. – 5

E. – 7

Pembahasaan :

Diketahui :

Fungsi g(x) = - 1/9 x³ + A²x + 1

A merupakan konstanta.

f(x) = g(x + 2)

Fungsi f(x) naik pada interval – 5 < x < 1

Ditanyakan :

Nilai minimum fungsi g(x) adalah . . . . ?

Jawab :

Kita sudah mengetahui bahwa g(x) = - 1/9 x³ + A²x + 1, dan A konstanta. Maka :

f(x) = g(x + 2)

       = - 1/9 (x + 2)³ + A²(x + 2) + 1

Kita turunkan menjadi turunan pertama dari fungsi f(x), maka diperoleh :

F(x) = - 1/9 (x + 2)³ + A²(x + 2) + 1

F’(x) = - 3/9 (x + 2)² + A²

        = - 1/3 (x + 2)² + A²

Fungsi f(x) naik pada interval – 5 < x < 1, berarti f(x) turun pada x < - 5 dan x > 1 serta f(x) stasioner di x = - 5 dan x = 1.

Oleh karena f(x) stasioner di x = - 5 dan x = 1, maka f’(-5) = 0 dan f’(1) = 0. Maka diperoleh :

F’(1) = 0

         = - 1/3 (x + 2)² + A²

         = - 1/3 (1 + 2)² + A²

         = - 1/3 (3)² + A²

         = - 1/3 (9) + A²

         = - 3 + A²

    A² = 3

Dengan demikian, diperoleh fungsi 

g(x) = - 1/9 x³ + 3x + 1 dan g’(x) = - 1/3 x² + 3

Fungsi g(x) mencapai stasioner jika g’(x) = 0

g’(x) = 0

- 1/3 x² + 3 = 0 . . . (semua ruas dikali (- 3))

- 1/3 x² (-3) + 3 (-3) = 0 (-3)

x² - 9 = 0

(x – 3) (x + 3) = 0

x – 3 = 0   atau   x + 3 = 0

x = 3                    x = - 3

Dengan diagram tanda g’(x) = - 1/3 x² + 3 adalah sebagai berikut :

Dari diagram tanda di atas tampak bahwa fungsi g(x) mencapai minimum di x = - 3.

Nilai minimum fungsi g(x) = g(-3)

g(-3) = - 1/9 (-3)³ + 3(-3) + 1

         = - 1/9 (-27) – 9 + 1

         = -3 – 9  + 1

         = - 5

Jadi, nilai minimum fungsi g(x) adalah – 5.

Jawabannya ( D )

Itulah pembahasan soal Latihan mengenai materi fungsi. Semoga bermanfaat dan mudah untuk dipahami yahh. Tetap semangat dalam menjalani aktivitasnya dan jangan lupa selalau Bahagia dalam keadaan apapun. Terima kasih semua . . .

Advertisement

Subscribe to receive free email updates: